想要更多的平均数吗？

原作的原作：匡继昌《常用不等式》

　　设 $0<a<b$ ，则 $a$ 与 $b$ 的算术平均和几何平均分别定义为

A(a,b) = \dfrac{a+b}{2}, \quad G(a,b)=\sqrt{ab}.

　　此外，还可以定义 $a$ 与 $b$ 的各种二元平均：

M_p(a,b)=\left(\frac{a^p+b^p}{2}\right)^{\frac{1}{p}},\quad p\neq0

可见

\begin{aligned} M_1(a,b)&=A(a,b) \\ \lim_{p\to 0}M_p(a,b)&=G(a,b). \end{aligned}

　　换言之，算术平均与几何平均两者都满足 Hölder 平均的定义，是其特殊情况. 且 $M_p(a,b)$ 关于 $p$ 严格单调递增. 所以站在 Hölder 平均单调性的观点下，可得到其在许多情形下各自与 $A(a,b)$ 和 $G(a,b)$ 的大小关系.

　　例如，当 $0<p<1$ 时，可知

G(a,b)<M_p(a,b)<A(a,b).

\begin{aligned} L_p(a,b)&=\dfrac{a^p+b^p}{a^{p-1}+b^{p-1}},\quad p \in \mathbb{R} \\ \quad \\ L_1(a,b)&=\dfrac{a^1+b^1}{a^0+b^0} =\frac{a+b}{1+1}=A(a,b) \\ \quad \\ L_{\frac{1}{2}}(a,b) &=\dfrac{ a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}} }{ a^{-\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}} } =\frac{(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}} =a^\frac{1}{2}b^\frac{1}{2} =G(a,b) \end{aligned}

　　换言之，算术平均与几何平均两者都满足 Lehmer 平均的定义，是其特殊情况. 且当 $p>0$ 时， $L_p(a,b)$ 关于 $p$ 严格单调递增. 所以站在 Lehmer 平均单调性的观点下，可得到其在许多情形下各自与 $A(a,b)$ 和 $G(a,b)$ 的大小关系.

　　例如，当 $\dfrac{1}{2}<p<1$ 时，可知

G(a,b)<L_p(a,b)<A(a,b).

\begin{aligned} S_p(a,b)&=\left(\frac{b^p-a^p}{p(b-a)}\right)^{\frac1{p-1}},\quad p\neq0,1 \\ \quad \\ S_{2}\left(a,b\right) &=\left(\frac{b^{2}-a^{2}}{2\left(b-a\right)}\right)^{\frac{1}{2-1}} =\left(\frac{(b+a)(b-a)}{2(b-a)}\right)^{\frac{1}{1}} =\left(\frac{b+a}{2}\right)^{1} =A\left(a,b\right) \\ \quad \\ S_{-1}(a,b)&=\left(\frac{b^{-1}-a^{-1}}{(-1)(b-a)}\right)^{\frac{1}{-1-1}}=\left(\frac{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}{a-b}\right)^{\frac{1}{-2}} \\ \quad \\ &=\left(\frac{\frac{a-b}{ab}}{a-b}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{ab}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(ab\right)^{\frac{1}{2}}=G(a,b) \end{aligned}

　　换言之，算术平均与几何平均两者都满足 Stolarsky 平均的定义，是其特殊情况. 且 $S_p(a,b)$ 关于 $p$ 严格单调递增. 所以站在 Stolarsky 平均单调性的观点下，可得到其在许多情形下各自与 $A(a,b)$ 和 $G(a,b)$ 的大小关系.

　　例如，当 $-1<p<2$ 且 $p\neq0,1$ 时，可知

G(a,b)<S_p(a,b)<A(a,b).

\begin{aligned} K_p(a,b)&=\frac{a^pb^{1-p}+a^{1-p}b^p}2,\quad p\in\mathbb{R} \\ \quad \\ K_{1}(a,b)&=\frac{a^{1}b^{1-1}+a^{1-1}b^{1}}{2}=\frac{a^{1}b^{0}+a^{0}b^{1}}{2}=\frac{a+b}{2}=A(a,b) \\ \quad \\ K_{\frac{1}{2}}(a,b) &=\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{1-\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}+a^{1-\frac{1}{2}}}{2} =\frac{(ab)^{\frac{1}{2}}+(ab)^{\frac{1}{2}}}{2} =\sqrt{ab}=G(a,b) \end{aligned}

　　换言之，算术平均与几何平均两者都满足齐次平均的定义，是其特殊情况. 所以站在齐次平均单调性的观点下，可得到其在许多情形下各自与 $A(a,b)$ 和 $G(a,b)$ 的大小关系.

　　例如，当 $p>\dfrac{1}{2}$ 时， $K_p(a,b)$ 关于 $p$ 严格单调递增. 故当 $\dfrac{1}{2}<p<1$ 时，可知

G(a,b)<K_p(a,b)<A(a,b).

\begin{aligned} J_p(a,b)&=\frac{p(a^{p+1}-b^{p+1})}{(p+1)(a^p-b^p)}, p\neq0,-1 \\ \quad \\ J_{1}(a,b)& =\frac{1(a^{1+1}-b^{1+1})}{(1+1)(a^{1}-b^{1})}=\frac{a^{2}-b^{2}}{2(a-b)}=\frac{a+b}{2}=A(a,b) \\ \quad \\ J_{-\frac{1}{2}}(a,b)& =\frac{-\frac{1}{2}(a^{-\frac{1}{2}+1}-b^{-\frac{1}{2}+1})}{(-\frac{1}{2}+1)(a^{-\frac{1}{2}}-b^{-\frac{1}{2}})} =-\frac{1}{2}\cdot\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}(\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{b^{\frac{1}{2}}})} \\ \quad \\ &= -\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}}=-\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}=\sqrt{ab} =G(a,b) \end{aligned}

　　换言之，算术平均与几何平均两者都满足单参数平均的定义，是其特殊情况. 且 $J_p(a,b)$ 关于 $p$ 严格单调递增. 所以站在单参数平均单调性的观点下，可得到其在许多情形下各自与 $A(a,b)$ 和 $G(a,b)$ 的大小关系.

　　例如，当 $-\dfrac12<p<1$ 时，可知

G(a,b)<J_p(a,b)<A(a,b).

　　在中学阶段过于平凡，这里不再重复.

E(a,b)=\frac1e\cdot\left(\frac{a^a}{b^b}\right)^{\frac1{a-b}} \\ \quad \\ G(a,b)<E(a,b)<A(a,b)

H(a,b)=\frac{a+\sqrt{ab}+b}3 \\ \quad \\ G(a,b)<H(a,b)<A(a,b)

B(a,b)=\frac{a-b}{2\arcsin\left(\frac{a-b}{a+b}\right)} \\ \quad \\ G(a,b)<B(a,b)<A(a,b)

a<G(a,b)<D(a,b)<M_{\frac{1}{2}}(a,b)<H(a,b)<E(a,b)<A(a,b)<b

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